Ошибки первого и второго рода в статистике
Ошибки первого и второго рода являются ключевыми понятиями в статистике, когда дело доходит до проверки статистических гипотез.
Ошибка первого рода
Ошибкой первого рода, или ложноположительным заключением, является ситуация, когда верная нулевая гипотеза (об отсутствии связи) отвергается.
Ошибка второго рода
Ошибка второго рода, или ложноотрицательное заключение, происходит, когда принимается неверная нулевая гипотеза.
Эти ошибки широко применяются в различных областях, где принятие решений на основе данных требует строгой статистической проверки.
Значение ошибок первого и второго рода
Ошибки первого и второго рода взаимно-симметричны. Однако, в большинстве случаев нулевая гипотеза представляет собой состояние по умолчанию, альтернативная гипотеза – менее ожидаемое или неординарное состояние.
Часто ошибку первого рода называют ложной тревогой. Например, когда результаты анализа указывают на заболевание, хотя в действительности человек здоров. Такие ошибки могут иметь серьезные последствия и поэтому понимание и управление ошибками первого и второго рода крайне важны при принятии решений на основе статистических данных.
Ложноположительный результат: что это такое и почему это важно
Термин ложноположительный результат широко используется, особенно в медицине. Это может быть критически важно, когда речь идет о диагностике заболеваний. Например, иногда тесты могут показать наличие заболевания у пациента, когда на самом деле его нет. Этот результат называется ложноположительным.
Применение термина
В других областях также используют словосочетания со схожим смыслом, например, ложное срабатывание или ложная тревога. В информационных технологиях часто используется английский термин false positive, без перевода на русский.
Ошибки второго рода
Из-за возможности ложных срабатываний, не всегда можно автоматизировать борьбу со многими видами угроз. Вероятность ложного срабатывания обычно коррелирует с вероятностью пропуска события (ошибки второго рода). Чем более чувствительна система, тем больше она детектирует опасных событий, но при этом увеличивается вероятность ложных срабатываний.
Ошибки второго рода
Систему защиты, настроенную слишком чувствительно, можно перекосить в сторону ложных тревог, что может привести к нанесению большего вреда, чем пользы.
Примеры
Ошибка второго рода может проявиться, например, когда анализ крови не показал наличие болезни у человека, хотя он на самом деле болен. Это ложноотрицательное срабатывание. Также это можно применить к случаю, когда рамка металлодетектора не обнаружила холодное оружие у пассажира.
Вероятности ошибок
При проверке статистических гипотез вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости (𝛼-ошибка). Вероятность ошибки второго рода обычно обозначается другой греческой буквой. Важным аспектом является мощность критерия, которая помогает понять, насколько надежно было принято решение.
С учетом этих факторов, настройка системы должна быть сбалансированной, чтобы минимизировать оба вида ошибок.
Обе эти характеристики обычно вычисляются с помощью так называемой функции мощности критерия.
В частности, вероятность ошибки первого рода есть функция мощности, вычисленная при нулевой гипотезе. Для критериев, основанных на выборке фиксированного объёма, вероятность ошибки второго рода есть единица минус функция мощности, вычисленная в предположении, что распределение наблюдений соответствует альтернативной гипотезе. Для последовательных критериев это также верно, если критерий останавливается с вероятностью единица (при данном распределении из альтернативы).
Компромисс в статистических тестах
В статистических тестах обычно приходится идти на компромисс между приемлемым уровнем ошибок первого и второго рода. Зачастую для принятия решения используется пороговое значение, которое может варьироваться с целью сделать тест более строгим или, наоборот, более мягким.
Этим пороговым значением является уровень значимости, которым задаются при проверке статистических гипотез. Например, в случае металлодетектора повышение чувствительности прибора приведёт к увеличению риска ошибки первого рода (ложная тревога), а понижение чувствительности — к увеличению риска ошибки второго рода (пропуск запрещённого предмета).
Применение теории статистики в радиолокации
В задаче радиолокационного обнаружения воздушных целей, в системе ПВО ошибки первого и второго рода играют значительную роль. Формулировки ложная тревога и пропуск цели являются основными элементами как теории, так и практики построения радиолокационных станций.
Ошибки при работе с компьютерами и программным обеспечением
Понятия ошибок первого и второго рода широко используются в области компьютеров и программного обеспечения.
- Ошибка первого рода: это когда механизм блокировки/фильтрации спама ошибочно классифицирует легитимное email-сообщение как спам и препятствует его нормальной доставке.
- Ошибка второго рода: происходит, когда антиспам-система ошибочно пропускает нежелательное сообщение, классифицируя его как не спам.
Вредоносное программное обеспечение
Пока не удалось создать антиспамовую систему без корреляции между вероятностью ошибок первого и второго рода. Вероятность пропустить спам у современных систем колеблется в пределах от 1 % до 30 %. Вероятность ошибочно отвергнуть валидное сообщение — от 0,001 % до 3 %. Выбор системы и её настроек зависит от условий конкретного получателя: для одних получателей риск потерять 1 % хорошей почты оценивается как незначительный, для других же потеря даже 0,1 % является недопустимой.
Понятие ошибки первого рода
Понятие ошибки первого рода также используется, когда антивирусное программное обеспечение ошибочно классифицирует безвредный файл как вирус. Неверное обнаружение может быть вызвано особенностями эвристики, либо неправильной сигнатурой вируса в базе данных. Подобные проблемы могут происходить также и с антитроянскими и антишпионскими программами.
Поиск в компьютерных базах данных
При поиске в базе данных к ошибкам первого рода можно отнести документы, которые выдаются поиском, несмотря на их иррелевантность (несоответствие) поисковому запросу. Ошибочные срабатывания характерны для полнотекстового поиска, когда поисковый алгоритм анализирует полные тексты всех хранимых в базе данных документов и пытается найти соответствия одному или нескольким терминам, заданным пользователем в запросе.
Большинство ложных срабатываний обусловлены сложностью естественных языков, многозначностью слов: например, home может обозначать как место проживания человека, так и корневую страницу веб-сайта. Число подобных ошибок может быть снижено за счёт использования специального словаря. Однако это решение относительно дорогое, поскольку подобный словарь и разметка документов (индексирование) должны создаваться экспертом.
Оптическое распознавание текстов (OCR)
Разнообразные детектирующие алгоритмы нередко выдают ошибки первого рода. Программное обеспечение оптического распознавания текстов может распознать букву a в ситуации, когда на самом деле изображены несколько точек.
Досмотр пассажиров и багажа
Ошибки первого рода регулярно встречаются каждый день в компьютерных системах предварительного досмотра пассажиров в аэропортах. Установленные в них детекторы предназначены для предотвращения проноса оружия на борт самолёта; тем не менее, уровень чувствительности в них зачастую настраивается настолько высоко, что много раз за день они срабатывают на незначительные предметы, такие как ключи, пряжки ремней, монеты, мобильные телефоны, гвозди в подошвах обуви и т. п. (см. обнаружение взрывчатых веществ, металлодетекторы).
Таким образом, соотношение числа ложных тревог (идентифицикация благопристойного пассажира как правонарушителя) к числу правильных срабатываний (обнаружение действительно запрещённых предметов) очень велико.
Массовая медицинская диагностика (скрининг)
В медицинской практике есть существенное различие между скринингом и тестированием:
Простые анализы крови, используемые для скрининга потенциальных доноров на ВИЧ и гепатит, имеют существенный уровень ошибок первого рода; однако в арсенале врачей есть гораздо более точные (и, соответственно, дорогие) тесты для проверки, действительно ли человек инфицирован каким-либо из этих вирусов.
Ошибки второго рода являются существенной проблемой в медицинском тестировании. Они дают пациенту и врачу ложное убеждение, что заболевание отсутствует, в то время как в действительности оно есть. Это зачастую приводит к неуместному или неадекватному лечению. Типичным примером является доверие результатам велоэргометрии при выявлении коронарного атеросклероза, хотя известно, что велоэргометрия выявляет только те затруднения кровотока в коронарной артерии, которые вызваны стенозом.
Ошибки второго рода вызывают серьёзные и трудные для понимания проблемы, особенно когда искомое условие является широкораспространённым. Если тест с 10%-ным уровнем ошибок второго рода используется для обследования группы, где вероятность «истинно-положительных» случаев составляет 70 %, то многие отрицательные результаты теста окажутся ложными. (См. теорему Байеса).
Исследования сверхъестественных явлений
Сегодня поговорим о том, с чем руководителю приходится сталкиваться практически ежедневно — негативная обратная связь. Почему она важна — и почему нельзя просто ругать сотрудника? Как не ранить человека, не испортить с ним отношения и не подвести к увольнению? Может ли негативная обратная связь мотивировать?
Критика VS негативная обратная связь
Часто негативную обратную связь и критику ставят в один ряд. Например, фраза «Ты никудышный специалист» — пример крайне некорректной критики, а не негативная обратная связь. Разница в том, что критика чаще всего направлена на личность и вообще вредна для здоровых взаимоотношений. Ее цель — выразить недовольство, а не помочь исправить ситуацию.
Обратная связь — не просто указание на ошибку, это анализ ситуации с целью предложения конструктивных решений. Она должна быть конкретной, аргументированной, объективной и не трактоваться как психологическая атака.
Например, «В проекте Х было несколько таких-то ошибок. Давай подумаем, как можно предотвратить такие ошибки в будущем?» — это конструктивная обратная связь с негативным оттенком, которая помогает сотруднику улучшить свою работу.
Она подсветит слабые места, с которыми нужно работать, а еще она полезна и мотивирует.
Готовые шаблоны для негативной обратной связи
Существует три основных метода давать негативные фидбэки — «Сэндвич», BOFF и SOR. Разберемся, как их использовать на примерах.
Принцип «Сэндвича» или «Бутерброда» в обратной связи
Суть подхода заключается в том, что:
Ситуация: дизайнер Ярослав сделал макет сайта не по брендбуку заказчика, нужно переделывать. Если затянуть, команда не успеет вовремя сдать проект и лишится премии. Руководителю нужно «поговорить» об этом с Ярославом.
Важно: когда хвалите сотрудника, выделяйте его профессиональные качества, а не личные. Так вы мотивируете его и дальше развиваться в профессиональном плане.
Пример правильного «Сэндвича»: «Ярослав, я хотел бы поговорить с тобой о макете сайта для компании Х. Вижу, как много сил ты вложил в этот проект. Решение сделать каталог трубопроводной арматуры в виде табличного листинга — отличное. Однако я заметил, что макет сайта не соответствует брендбуку заказчика. Вряд ли это ему понравится. Я уверен, что ты еще сможешь исправить эту ситуацию до дедлайна. Это важный проект, если мы сдадим его вовремя, то вся команда получит премию, поэтому я надеюсь на твою поддержку и усилия. Если тебе будут нужны дополнительные ресурсы для этой задачи, я готов их предоставить».
Метод «Сэндвича» наглядно
Важно помнить, что обсуждение — это диалог. Поэтому не увлекайтесь, излагая только свои соображения. Делайте паузы, чтобы собеседник мог поделиться своим видением ситуации. Чтобы диалог был результативным, задавайте сотруднику вопросы: «Почему ты поступил именно таким образом?», «Что, на твой взгляд, нужно сделать, чтобы избежать таких проблем в будущем?» и т.д.
Выстраивая диалог, лидер должен придерживаться коучинговой, тренерской, а не «начальственной» позиции. В первом случае он направляет, помогает исправлять ошибки, расти, осознавать свой потенциал. Во втором — отчитывает и отдает приказы, что не способствует повышению вовлеченности персонала.
Пример неправильной обратной связи: «Ярослав, этот макет ужасен. Ты сделал много ошибок, и я не знаю, как ты мог это допустить. Это неприемлемо, исправь это немедленно».
В первом примере мы начинаем с положительного комментария, затем переходим к проблеме и заканчиваем с поддержкой и уверенностью в том, что сотрудник справится. Во втором примере мы начинаем с негативных комментариев, не указывая на конкретные ошибки, и не предоставляем никакой поддержки для того, чтобы исправить ситуацию.
Таким образом, принцип «Сэндвича» в негативной обратной связи поможет руководителю эффективно общаться с подчиненным, передавая критическую информацию и мотивируя его на лучшие результаты в будущем.
Принцип BOFF в обратной связи
Еще одна модель — BOFF:
Ситуация: разработчик Евгений выпустил обновление нового программного продукта без проверки. В результате у заказчиков сломались сайты. В компанию начали звонить недовольные клиенты. А техподдержка была завалена негативными комментариями.
Как работает метод BOFF
Как работает метод BOFF
Как поговорить с Евгением: «Жень, ты выпустил апдейт без проверки. В нем были баги, из-за которых у клиентов не работают интернет-магазины, а на носу распродажа перед 8 Марта. Менеджерам звонят недовольные клиенты. Такое поведение может подорвать репутацию нашей компании. Давай, пожалуйста, договоримся, что в следующий раз ты будешь тщательно проверять обновления».
Как не надо: «Жень, как ты умудрился выпустить апдейт с багами? Немедленно обзвони всех клиентов, скажи, что это твоя вина и поправь все баги до 21:00. Можешь работать в обед или из дома, мне все равно».
Принцип SOR в обратной связи
Другая модель называется SOR:
Ситуация: Мария забывает отмечать ход выполнения задач по верстке сайта в корпоративном трекере. В результате аккаунт-менеджер не может рассчитать, сколько времени уходит на проект, сказать конкретные сроки сдачи проекта клиенту, рассчитать стоимость, а главное — неизвестно, окупается ли эта работа.
Что такое SOR в обратной связи
Что такое SOR в обратной связи
Например: «Маша, у нас в компании действует трекинг задач через «Битрикс 24». Это значит, что каждый день у тебя должно быть зафиксировано восемь часов рабочего времени. Нам нужна эта информация для понимания сколько времени у тебя уходит на типовые задачи по проекту Х, т.к. заказчики платят компании за часы специалистов. Вот отчет — у тебя отмечено то пять часов, то четыре, то восемь. В следующий раз я могу сказать клиенту, что мы оценили работу в пять часов и выставить счет на эту сумму. Когда в реальности ты будешь делать ее не меньше двадцати часов. Клиент будет недоволен, это ударит по репутации и прибыли компании».
Как не надо: «Маша, судя по отчету в «Битрикс 24», ты работаешь то по пять, то по четыре, то по три часа. У меня возникает подозрение, что ты занимаешься более интересными задачами вместо работы. Поэтому в этом месяце мы заплатим тебе по количеству отработанных часов».
Также по теме
«Как правильно давать обратную связь»
Советов, как правильно давать негативную обратную связь сотрудникам
Теперь поделимся секретами правильного негативного фидбэка.
Подготовьтесь
Заранее подумайте о том, какие конкретные действия можно предложить, чтобы улучшить ситуацию и исправить ошибки. Выберите подходящее время. Избегайте предоставлять фидбэки, когда человек находится в стрессовой ситуации или когда у вас нет времени для детального обсуждения. Выберите момент, когда вы оба свободны и можете спокойно обсудить проблему.
Назначьте встречу 1
Давайте негативную обратную связь один на один. Никогда не выставляйте сотрудника в невыгодном свете перед коллегами. Это может нанести серьезный ущерб не только его самооценке и отношениям в коллективе, но и подорвет доверие к вам, пострадает ваша репутация руководителя.
Проверьте информацию
Перед тем, как давать негативную обратную связь, убедитесь, что вы правильно понимаете ситуацию и имеете достаточно информации для объективной оценки произошедшего.
Находим причинно-следственные связи
Например, если речь идет о дизайнере, который сделал макет не по брендбуку заказчика, еще раз проверьте все брендбуки, руководства по стилю и наборы стилей для интерфейса. Выпишите наиболее критичные ошибки. Объяснять нужно на конкретных примерах. Советовать просто «включить голову» бесполезно. Такая игра в «Угадайку» вредна для сути дела. Помните, что ваша цель быстрее помочь человеку исправить ошибку, а не отчитать, убедить, а не «прожать».
Контролируйте эмоции
Не выражайте свой негатив через громкий голос, оскорбления или угрозы. Сохраняйте спокойный и дружелюбный тон. Да, человек ошибся. Но в целом он опытный и ценный специалист. Чтобы не потерять его, нужно заранее подумать о его чувствах. Не критикуйте личность. Просто перечислите факты.
Сравните: «Программист из тебя просто никакой. Кто тебя вообще возьмет на работу?» — оценка личности.
С фидбэком: «Я заметил, что в последнее время ты начал допускать ошибки в верстке. Расскажи, с чем это связано?» — звучит намного мягче.
Для разбора ситуации используйте только факты. Слухи или предположения поведут по эмоциональному пути, в то время как стремиться нужно к конструктивному. И обязательно нужно давать слово сотруднику, особенно если речь идет об ошибке, конфликте или иной подобной ситуации.
Задавайте вопросы
Чтобы понять, почему человек принял определенное решение или почему не выполнено требование — задайте ему вопрос. Это поможет избежать недопонимания. Возможно, были факторы, способствовавшие неудаче, о которых вы не знаете. Например, человек сильно загружен другими задачами или у него личные проблемы.
Предлагайте следующий шаг
Предложите сотруднику конкретный план действий для исправления ситуации. А еще лучше спросите его самого, как он видит дальнейшую работу. Вместе найдите оптимальное решение.
Когда сотрудник оперативно исправил ошибку
Например, привлечь еще одного специалиста для помощи, отказаться от неприоритетных задач или пересогласовать сроки с клиентом.
Резюмируйте
Подведите итог, еще раз проговорите, каких действий вы ждете от сотрудника. Убедитесь, что человек понимает, что нужно делать. Так, у человека остается два варианта: подтвердить договоренности и идти работать или обсудить их заново.
Как узнать, что сотрудникам в компании недостаточно обратной связи от руководства
Существует несколько способов определить, что сотрудникам компании не хватает обратной связи от руководства:
Узнать мнение сотрудников
Резюме
Давать сотруднику негативную обратную связь – нелегко, но это важный инструмент для повышения производительности. Избегайте указанных ошибок и помните, что обратная связь должна быть конструктивной и ориентированной на решение проблемы, а не на критику личности.
Кроме того, не забывайте о положительной обратной связи – она также важна для мотивации сотрудников и укрепления отношений. Поощряйте достижения и успехи, выражайте признательность за хорошую работу. В результате сотрудники будут более мотивированы и готовы трудиться на благо компании.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 января 2024 года; проверки требуют 2 правки.
График функции ошибок
Функция ошибок (также называемая функция ошибок Гаусса) — неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как
Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение ), определяется через функцию ошибок:
Комплексная функция ошибок, обозначаемая , также определяется через функцию ошибок:
где черта обозначает комплексное сопряжение числа .
Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного , так и на всей комплексной плоскости, согласно признаку Д’Аламбера. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.
поскольку — сомножитель, превращающий -й член ряда в -й, считая первым членом .
где = 1 и
Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.
Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением , то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на , равна .
Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).
В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.
При больших полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:
Хотя для любого конечного этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.
Другое приближение даётся формулой
где при , и при . При эта формула даёт недопустимые значения выше единицы, поэтому её нельзя использовать для оценки функции при малых x.
Относительная погрешность последней формулы лежит в пределах до 0.002 для всех ненулевых значений .
С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с функцией Лапласа — функцией нормального интегрального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, обозначаемой
Обратная функция к , известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается и выражается через нормальную функцию ошибок как
Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.
Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):
Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,
Обобщённые функции ошибок
График обобщённых функций ошибок : серая линия: красная линия: зелёная линия: синяя линия: жёлтая линия: .
Некоторые авторы обсуждают более общие функции
Примечательными частными случаями являются:
После деления на все с нечётными выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про с чётными . Все обобщённые функции ошибок с выглядят похоже на полуоси .
На полуоси все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:
Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:
Повторные интегралы дополнительной функции ошибок
, для .
Их можно разложить в ряд:
откуда следуют свойства симметрии
В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок и дополнительная функция ошибок . Функции объявлены в заголовочных файлах math.h (для Си) или cmath (для C++). Там же объявлены пары функций erff(), erfcf() и erfl(), erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта «Boost».